题目内容

已知定义域为的函数同时满足以下三个条件:

[1] 对任意的,总有

[2]

[3] 若,且,则有成立,

并且称为“友谊函数”,请解答下列各题:

(1)若已知为“友谊函数”,求的值;

(2)函数在区间上是否为“友谊函数”?并给出理由.

(3)已知为“友谊函数”,假定存在,使得

求证:.

(1)(2)为友谊函数


解析:

(1)取,-------2分

又由,得           --------------- 3分

(2)显然上满足[1] ;[2] .-------5分

,且,则有

      故满足条件[1]、[2]、[3],所以为友谊函数.--8分

(3)由 [3]知任给其中,且有,不妨设则必有:-----------------------------9分

所以:

所以:.-----------------------------------10分

依题意必有,

下面用反证法证明:假设,则有

(1)若,则,这与矛盾;--12分

(2)若,则,这与矛盾;

     故由上述(1)、(2)证明知假设不成立,则必有,证毕.----14分

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