题目内容
已知定义域为的函数
同时满足以下三个条件:
[1] 对任意的,总有
;
[2] ;
[3] 若,
,且
,则有
成立,
并且称为“友谊函数”,请解答下列各题:
(1)若已知为“友谊函数”,求
的值;
(2)函数在区间
上是否为“友谊函数”?并给出理由.
(3)已知为“友谊函数”,假定存在
,使得
且
,
求证:.
(1)(2)
为友谊函数
解析:
(1)取得
,-------2分
又由,得
--------------- 3分
(2)显然在
上满足[1]
;[2]
.-------5分
若,
,且
,则有
故满足条件[1]、[2]、[3],所以
为友谊函数.--8分
(3)由 [3]知任给其中
,且有
,不妨设
则必有:
-----------------------------9分
所以:
所以:.-----------------------------------10分
依题意必有,
下面用反证法证明:假设,则有
或
(1)若,则
,这与
矛盾;--12分
(2)若,则
,这与
矛盾;
故由上述(1)、(2)证明知假设不成立,则必有,证毕.----14分

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