Question

设O为坐标原点，点M坐标为（3，2），若点N（x，y）满足不等式组

x≥0 y≥0 x+y≤s 2x+y≤4

，当1≤s≤3时，则

OM

•

ON

的最大值的变化范围是（　　）

A．[3，8]

B．[3，7]

C．[4，7]

D．[4，8]

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，由于

OM

•

ON

=3x+2y，设z=3x+2y，再利用z的几何意义求最值，即可求解

解答：解：由于

OM

•

ON

=（3，2）•（x，y）=3x+2y，
设z=3x+2y，则y=-

3

2

x+

1

2

z，将最大值转化为y轴上的截距最大
当1≤s≤2时，不等式组表示的平面区域如图（I）所示的阴影部分
作直线L：0=3x+2y，把L向可行域平移，结合图象可知，直线z=3x+2y经过点B（，s，0）时，z最大，
最大为：3s，此时，3s∈[3，6]
图（I）
当2＜s≤3时，不等式组表示的平面区域如图（II）所示的阴影区域
直线z=3x+2y经过交点A（1，2）时，z最大，最大为：7．
作直线L：0=3x+2y，把L向可行域平移，结合图象可知，直线z=3x+2y经过点C时，z最大，
由

x+y=s 2x+y=4

可得C（4-s，2s-4），此时z最大为：z=s+4∈（6，7]
此时，3s∈[3，6]
综上可得z的最大值的范围为[3，7]，即则

OM

•

ON

的最大值的范围为[3，7]，
故选B

图（II）

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．