Question

【题目】如图，已知定点，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点.

（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；

（2）过定点且斜率为的直线与的轨迹交于两点，若，求点到直线的距离.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）直接利用椭圆的定义式可知，，故而，此时，则根据可知，，则椭圆方程可求；

（2）设出直线为：，与的轨迹方程联立，得出根与系数的关系，代入向量乘积表达式，求出，从而得出直线方程，则到直线的距离可求.

（1）连接MD.由已知，得，由，

∴根据椭圆的定义，

点M的轨迹是以C，D为焦点，长轴长为6的椭圆.

∴，，.

∴，点M的轨迹方程为.

（2）由题设知直线l的方程为，代入M的轨迹方程，

整理，得.

设，.

∴，.

∵

.

∴，解得.

∴点O到直线l的距离.