Question

【题目】已知函数，（e为自然对数的底数，e≈2.718）．对于任意的(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的，，使得＝＝，则整数a的取值集合是_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据函数的单调性求出f（x）的值域，求出g（x）的单调性，问题转化为关于a的不等式组，求出a的范围即可．

f′（x）=2（﹣x），

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，

令f′（x）＜0，解得：＜x＜e，

故f（x）在（0，）递增，在（，e）递减，

而f（0）=0，f（）=2，f（e）=e（2﹣e），

故f（x）在（0，e）的值域是（0，2），

对于g（x）=lnx﹣ax+5，x∈（0，e），

a=0时，g（x）=lnx+5，g（x）递增，

在区间（0，e）上不存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），

不合题意，

a≠0时，g′（x）=﹣a，令g′（x）=0，解得：x=，

若在区间（0，e）上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），

则只需0＜＜e，故a＞，

令g′（x）＞0，解得：0＜x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x＜e，

故g（x）在（0，）递增，在（，e）递减，

而x→0时，g（x）→﹣∞，g（）=﹣lna+4，g（e）=6﹣ae，

若对于任意的x0∈（0，e），在区间（0，e）上总存在两个不同的x1，x2，

使得g（x1）=g（x2）=f（x0），

只需，解得：2.2≈≤a≤e2≈7.29，

故满足条件的a的整数为：3，4，5，6，7，

故答案为：{3，4，5，6，7}．