Question

【题目】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由．
（2）设AB=2，若H为PD上的动点，若△AHE面积的最小值为 ， 求四棱锥P﹣ABCD的体积．

Answer 1

【答案】解：（1）AE⊥PD
因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形．
因为E是BC的中点，
∴AE⊥BC，结合BC∥AD，得AE⊥AD
∵PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，
∴PA⊥AE
PA∩AD=A，且PA平面PAD，AD平面PAD
∴AE⊥平面PAD，又PD平面PAD
∴AE⊥PD
（2）由（1），EA⊥平面PAD，
∴EA⊥AH，即△AEH为直角三角形，
Rt△EAH中，AE=，
当AH最短时，即AH⊥PD时，△AHE面积的最小
此时， ．
又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．


【解析】（1）四边形ABCD是一条对角线AC等于边长的菱形，从而△ABC为正三角形，BC边上的中线AE也是高线，联系BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD内的射影，从而得到AE与PD垂直．
（2）先根据AE与PD、PA都垂直，可得到AE⊥平面PAD，从而AE⊥平面AHE，然后求出AE= ， 得到直角三角形AEH的面积为AEAH=AH，AH最短时△AHE面积最小．结合已知条件得到AH= ， 最后转到Rt△PAD中求得PA=2，利用棱锥的体积公式得出四棱锥P﹣ABCD的体积．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的性质是解答本题的根本，需要知道垂直于同一个平面的两条直线平行．