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精英家教网如图,已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1,F2,其右准线l与x轴的交点为T,过椭圆的上顶点A作椭圆的右准线l的垂线,垂足为D,四边形AF1F2D为平行四边形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设线段F2D与椭圆交于点M,是否存在实数λ,使
TA
TM
?若存在,求出实数λ的值;若不存在,请说明理由;
(3)若B是直线l上一动点,且△AF2B外接圆面积的最小值是4π,求椭圆方程.
分析:(1)由AD=F1F2得到a与c的关系
a2
c
=2c
进而得到e=
2
2

(2)得到a,b,c的关系且设出各点的坐标可得
TA
=(-2c,c)
,直线F2D的方程是x-y-c=0联立直线与椭圆的方程得M(
4
3
c,
1
3
c)
,进而得到
TA
=3
TM

(3)设圆心N的坐标为(n,n),圆过准线上一点B,则圆与准线有公共点所以
(n-c)2+n2
≥|n-2c|
可得n≤-3c或n≥c又r2=(n-c)2+n2=2(n-
c
2
)
2
+
c2
2
∈[c2,+∞)

(πr2min=c2π=4π,则c2=4.
解答:解:(1)依题意:AD=F1F2,即
a2
c
=2c

所以离心率e=
2
2

(2)由(Ⅰ)知:a=
2
c
,b=c,
故A(0,c),D(2c,c),F2(c,0),T(2c,0),
TA
=(-2c,c)

所以椭圆方程是
x2
2c2
+
y2
c2
=1
,即x2+2y2=2c2
直线F2D的方程是x-y-c=0
由,{
x2+2y2=2c2
x-y-c=0
解得:,{
x=0
y=-c
(舍去)或,{
x=
4
3
c
y=
1
3
c

M(
4
3
c,
1
3
c)

TM
=(-
2
3
c,
1
3
c)
,所以
TA
=3
TM

即存在λ=3使
TA
=3
TM
成立.
(3)由题可知圆心N在直线y=x上,设圆心N的坐标为(n,n),
因圆过准线上一点B,则圆与准线有公共点,
设圆心N到准线的距离为d,则NF2≥d,即
(n-c)2+n2
≥|n-2c|

解得:n≤-3c或n≥c,
r2=(n-c)2+n2=2(n-
c
2
)2+
c2
2
∈[c2,+∞)

由题可知,(πr2min=c2π=4π,则c2=4,
故椭圆的方程为
x2
8
+
y2
4
=1
点评:本题的重点是依向量为载体考查直线与圆锥曲线的相交问题,即联立直线椭圆的方程求解即可,还考查了焦点三角形面积的知识点,这些都是高考的重点内容.
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