题目内容
已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(
)=1．
（1）求f(
)及f(
)的值；
（2）求证：f（x）为奇函数且是周期函数．
| π |
| 2 |
（1）求f(
| π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
（2）求证：f（x）为奇函数且是周期函数．
分析：（1）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中取x=
，y=
，得f(
)+f(0)=
f(
)，再由f(0)=0，f(
)=1，知f(
)=
．在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中取x=π，y=
得f(
)+f(
)=0，由此能求出f(
)及f(
)的值．
（2）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，取x=0得f（0+y）+f（0-y）=2f（0）cosy，由f（0）=0，知f（x）为奇函数．在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中取y=
得f(x+
)+f(x-
)=0，故f(x+
)+f(x+
)=0，由此能够证明f（x）是周期函数．
| π |
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得f(
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| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
（2）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，取x=0得f（0+y）+f（0-y）=2f（0）cosy，由f（0）=0，知f（x）为奇函数．在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中取y=
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 2 |
解答：解：（1）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=
，y=
，得f(
+
)+f(
-
)=2f(
)cos
，
即f(
)+f(0)=
f(
)，…（3分）
又已知f(0)=0，f(
)=1，
所以f(
)=
．…（4分）
在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=π，y=
，得f(π+
)+f(π-
)=2f(π)cos
，
即f(
)+f(
)=0，…（7分）
又已知f(
)=1，
所以f(
)=-1．…（8分）
证明：（2）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=0，
得f（0+y）+f（0-y）=2f（0）cosy，
又已知f（0）=0，
所以f（y）+f（-y）=0，
即f（-y）=-f（y），
f（x）为奇函数．…（11分）
在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取y=
，得f(x+
)+f(x-
)=0，
于是有f(x+
)+f(x+
)=0，
所以f(x+
)=f(x-
)，
即f（x+2π）=f（x），
f（x）是周期函数．…（14分）
取x=
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| 4 |
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| π |
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| π |
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| π |
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| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
即f(
| π |
| 2 |
| 2 |
| π |
| 4 |
又已知f(0)=0，f(
| π |
| 2 |
所以f(
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=π，y=
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
即f(
| 3π |
| 2 |
| π |
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又已知f(
| π |
| 2 |
所以f(
| 3π |
| 2 |
证明：（2）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=0，
得f（0+y）+f（0-y）=2f（0）cosy，
又已知f（0）=0，
所以f（y）+f（-y）=0，
即f（-y）=-f（y），
f（x）为奇函数．…（11分）
在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取y=
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
于是有f(x+
| 3π |
| 2 |
| π |
| 2 |
所以f(x+
| 3π |
| 2 |
| π |
| 2 |
即f（x+2π）=f（x），
f（x）是周期函数．…（14分）
点评：本题考查抽象函数的性质和应用，难度较大．解题时要认真审题，注意赋值法的合理运用．
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