题目内容
【题目】如图,已知三棱柱中,底面,,,,.,分别为棱,的中点.
(1)求异面直线与所成角的大小;
(2)若为线段的中点,试在图中作出过、、三点的平面截该棱柱所得的多边形,并求出以该多边形为底,为顶点的棱锥的体积.
【答案】(1);(2)截面见详解,体积为
【解析】
(1)连接交于点,根据中位线定理找到与的平行线,并找到异面直线与所成角,计算长度,根据余弦定理,可得结果.
(2)画出截面,计算四边形的面积,根据//面,可得到面的距离,结合椎体体积公式,可得结果.
(1)连接交于点,连接
如图
由底面,面,
所以,又
所以,面
所以面,
故四边形为矩形,所以共线
为的中点,所以//,
故异面直线与所成角为
,,,
且,分别为棱,的中点
所以
所以
又且
所以为等腰直角三角形,
故
(2)取的中点连接,
又为线段的中点,所以//
则//,且
过、、三点的平面截该棱柱
所得的多边形为四边形
由(1)可知,//且
所以四边形为直角梯形,
所以
又平面,面,
所以//平面,作
所以
且到截面的距离即
所以
【题目】某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,记其质量指标值为,当时,产品为一级品;当时,产品为二级品;当时,产品为三级品.现用两种新配方(分别称为配方和配方)做实验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:
配方的频数分布表
指标值分组 | ||||
频数 | 10 | 30 | 40 | 20 |
配方的频数分布表
指标值分组 | |||||
频数 | 5 | 10 | 15 | 30 | 40 |
(1)从配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品,再从这5件产品中任取3件,求恰好取到1件二级品的频率;
(2)若这种新产品的利润率与质量指标满足如下条件:,其中,请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率,如果从长期来看,你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大?
【题目】哈三中团委组织了“古典诗词”的知识竞赛,从参加考试的学生中抽出60名学生(男女各30名),将其成绩分成六组,,…,,其部分频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求成绩在的频率,补全这个频率分布直方图,并估计这次考试的众数和中位数;
(Ⅱ)从成绩在和的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率;
(Ⅲ)我们规定学生成绩大于等于80分时为优秀,经统计男生优秀人数为4人,补全下面表格,并判断是否有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关?
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男 | 4 | 30 | |
女 | 30 | ||
合计 | 60 |
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |