Question

(本小题满分14分)

已知函数f(x)=(1+x)²-aln(1+x)²在(-2,-1)上是增函数，在（-∞，-2）上为减函数.

（1）求f(x)的表达式；

（2）若当x∈时，不等式f(x)＜m恒成立，求实数m的值；

（3）是否存在实数b使得关于x的方程f(x)=x²+x+b在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，若存在，求实数b的取值范围.

Answer 1

解  （1）

∵f′(x)=

=, …………………………………………………………2分

依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数，在（-∞,-2)上为减函数.∴x=-2时，f（x）有极小值，∴f′（-2）=0.

代入方程解得a=1,

故f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2. ……………………………………………………4分

(2)由于f′(x)= ,

令f′(x)=0,得x₁=0,x₂=-2. …………………………………………………5分

（由于x∈，故x2=-2舍去），

易证函数在上单调递减，

在［0，e-1］上单调递增，

且f()=+2,f(e-1)=e²-2＞+2, ………………………………………7分

故当x∈时，f(x)_max=e²-2,

因此若使原不等式恒成立只需m＞e^2-2即可. ………………………………9分

（3）若存在实数b使得条件成立，

方程f(x)=x²+x+b

即为x-b+1-ln(1+x)²=0,

令g(x)=x-b+1-ln(1+x)²,

则g′(x)= , ………………………………………………10分

令g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1,

令g′(x)＜0,得-1＜x＜1,  …………………………………………………11分

故g(x)在［0，1］上单调递减，在［1，2］上单调递增，要使方程f(x)=x²+x+b在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，只需g(x)=0在区间［0，1］和［1，2］上各有一个实根，于是有2-2ln2＜b≤3-2ln3, 

故存在这样的实数b,当2-2ln2＜b≤3-2ln3时满足条件. …………………14分