Question

【题目】已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3 ， S9 ， S6成等差数列． （Ⅰ）求证：a2 ， a8 ， a5成等差数列；
（Ⅱ）若等差数列{bn}满足b1=a2=1，b3=a5 ， 求数列{an3bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q． 当q=1时，显然S3+S6≠2S9 ， 与已知S3 ， S9 ， S6成等差数列矛盾，
∴q≠1．由S3+S6=2S9 ， 可得 + =2 ，
化为：1+q3=2q6 ， ∴a2+a5= = =2a8 ．
∴a2 ， a8 ， a5成等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）1+q3=2q6 ， 解得q3=1（舍去），q3=﹣ ．
∴ = = = ．
b1=a2=1，b3=a5=﹣ ，
数列{bn}的公差d= （b3﹣b1）=﹣ ．
∴bn=﹣ + ，
故 = ，
Tn= + +…+ ，①
= +…+ + ②
① ﹣②得： =﹣2+ ﹣ =﹣2﹣ ﹣ = + ，
解得Tn=﹣ + ．
【解析】（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q．当q=1时，显然S3+S6≠2S9 ， 与已知S3 ， S9 ， S6成等差数列矛盾，可得q≠1．由S3+S6=2S9 ， 利用求和公式化为：1+q3=2q6 ， 即可证明a2 ， a8 ， a5成等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）1+q3=2q6 ， 解得q3=﹣ ．可得 = = = ．b1=a2=1，b3=a5=﹣ ，可得bn=﹣ + ， = ，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：或，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．