题目内容

(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分)
A.(极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线C的参数方程为
x=2+3cosθ
y=-1+3sinθ
(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上的动点P(x,y)到直线l距离的最大值为
3+
7
10
10
3+
7
10
10

B.(不等式选讲选做题)若存在实数x满足不等式|x-3|+|x-5|<m2-m,则实数m的取值范围为
(-∞,-1)∪(2,+∞)
(-∞,-1)∪(2,+∞)

C.(几何证明选讲选做题)如图,PC切⊙O于点C,割线PAB经过圆心O,弦CD⊥AB于点E.已知⊙O的半径为3,PA=2,则PC=
4
4
.OE=
5
9
5
9
分析:A:把曲线C的参数方程化为普通方程,求出圆心到直线的距离,再把此距离加上半径,即得所求.
B:由绝对值得意义可得|x-3|+|x-5|的最小值2,再由题意可得m2-m>2,由此求得实数m的取值范围.
C:由圆的切割线定理求出PC的值,用等面积法求出CE,用勾股定理求得OE的值.
解答:解:A:把曲线C的参数方程化为普通方程为 (x-2)2+(y+1)2=9,表示以C(2,-1)为圆心,半径等于3的圆.
圆心到直线 x-3y+2=0 的距离为
|2+3+2|
10
=
7
10
10
,则曲线C上的动点P(x,y)到直线l距离的最大值为 3+ 
7
10
10

故答案为 3+ 
7
10
10

B:由于|x-3|+|x-5|表示数轴上的x对应点到3和5对应点的距离之和,它的最小值等于2,
而存在实数x满足不等式|x-3|+|x-5|<m2-m,故m2-m应大于|x-3|+|x-5|的最小值2,
即m2-m>2,解得 m<-1,或m>2,
故答案为(-∞,-1)∪(2,+∞).
C:由圆的切割线定理可得PC2=PA•PB=2(2+6)=16,∴PC=4.
由圆的切线性质可得,△POC为直角三角形,设它的面积为S,则S=
1
2
×OC×PC
=
1
2
×CE×PO

1
2
×3×4
=
1
2
×CE×(2+3)
,解得CE=
12
5

再由勾股定理可得OE=
OC2-CE 2
=
9-(
12
5
2
=
9
5

故答案为 4;
9
5
点评:本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,点到直线的距离公式的应用.绝对值不等式的解法,圆的切割线定理以及圆的切线性质应用,等面积法,属于中档题.
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