Question

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，则EC=

4

．
B． P为曲线C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

，（θ为参数）上一点，则它到直线C₂：

x=1+2t y=2

（t为参数）距离的最小值为

1

．
C．不等式|x²-3x-4|＞x+1的解集为

{x|x＞5或x＜-1或-1＜x＜3}

．

Answer 1

分析：A．利用切割线定理结合题中数据，可得PA=3，再由弦切角定理结合有一个角为60°的等腰三角形是正三角形，得到PE=AE=3，最后由相交弦定理可得BE•DE=AE•CE，从而求出EC=4；
B．将曲线C₁和直线C₂都化成普通方程，发现曲线C₁是以（1，0）为圆心，半径为1的圆，求出圆心到直线的距离，再减去半径即可得到距离的最小值；
C．对不等式分x＜-1和x≥-1两种情况加以讨论，分别解所得不等式，再将所得解集取并集即可得到原不等式的解集．

解答：解：A．∵PA是圆O的切线，∴PA²=PD•PB=9，可得PA=3
∵△ADE中，∠PAC=∠ABC=60°，PE=PA，∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3
∴BE=PB-PE=6，DE=PE-PD=2
∵圆O中，弦AC、BD相交于E，∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，EC=4
B．曲线C₁化成普通方程，得（x-1）²+y²=1．再将C₂化成普通方程，得y=2（x∈R）
∴曲线C₁是以（1，0）为圆心，半径为1的圆，圆上动点P到直线y=2的距离最小值为|2-0|-1=1
C．①当x＜-1时，不等式|x²-3x-4|＞x+1恒成立，
②当x≥-1时，不等式|x²-3x-4|＞x+1等价于x²-3x-4＞x+1或x²-3x-4＜-x-1
解之得：-1＜x＜3或x＞5
综上所述，原不等式的解集为：{x|x＞5或x＜-1或-1＜x＜3}
故答案为：4   1   {x|x＞5或x＜-1或-1＜x＜3}

点评：本题以圆中的比例线段、曲线的参数方程和含有绝对值不等式的解法为载体，着重考查了平面几何证明、直线与圆的位置关系和绝对值不等式的解法等知识，属于基础题．