题目内容
【题目】【2016高考山东理数】已知.
(I)讨论的单调性;
(II)当时,证明
对于任意的
成立.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求的导函数,对a进行分类讨论,求
的单调性;
(Ⅱ)要证对于任意的
成立,即证
,根据单调性求解.
试题解析:
(Ⅰ)的定义域为
;
.
当,
时,
,
单调递增;
,
单调递减.
当时,
.
(1),
,
当或
时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减;
(2)时,
,在
内,
,
单调递增;
(3)时,
,
当或
时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减.
综上所述,
当时,函数
在
内单调递增,在
内单调递减;
当时,
在
内单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增;
当时,
在
内单调递增;
当,
在
内单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,时,
,
,
令,
.
则,
由可得
,当且仅当
时取得等号.
又,
设,则
在
单调递减,
因为,
所以在上存在
使得
时,
时,
,
所以函数在
上单调递增;在
上单调递减,
由于,因此
,当且仅当
取得等号,
所以,
即对于任意的
恒成立。
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】近年来,我国电子商务蓬勃发展. 2016年“618”期间,某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币,与此同时,相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统. 从该评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为0.6,对服务的满意率为0.75,其中对商品和服务都满意的交易为80次.
(Ⅰ) 根据已知条件完成下面的列联表,并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”?
对服务满意 | 对服务不满意 | 合计 | |
对商品满意 | 80 | ||
对商品不满意 | |||
合计 | 200 |
(Ⅱ) 若将频率视为概率,某人在该网购平台上进行的3次购物中,设对商品和服务都满意的次数为随机变量,求
的分布列和数学期望
.
附:(其中
为样本容量)
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |