Question

5．在正方体ABCD一A₁B₁C₁D₁中，四对异面直线，AC与A₁D，BD₁与AD，A₁C与AD₁，BC与AD₁，其中所成角不小于60°的异面直线有（　　）

• A． 4对
• B． 3对
• C． 2对
• D． 1对

Answer 1

分析 由已知条件推导出异面直线AC与A₁D所成角∠DA₁C₁=60°，异面直线A₁C与AD₁所成角为90°，从而得到所成角不小于60°的异面直线有2对．

解答 解：∵AC∥A₁C₁，A₁D=A₁C₁=DC₁，
∴异面直线AC与A₁D所成角∠DA₁C₁=60°，
连结BA₁，∵AD∥A₁D₁，∴BD₁与AD所成角为∠A₁D₁B，
∵tan∠A₁D₁B=$\sqrt{2}＜\sqrt{3}$，∴∠A₁D₁B＜60°，
∵$\overrightarrow{A_{1}C}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=（\overrightarrow{{A}_{1}A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}_{1}}）$=0，
∴异面直线A₁C与AD₁所成角为90°，
∵BC∥AD，∴异面直线BC与AD₁所成角∠D₁AD=45°．
∴所成角不小于60°的异面直线有2对．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的求法及应用，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．