题目内容

(Ⅰ)建立适当直角坐标系,求椭圆M的标准方程;
(Ⅱ)过线段AB的中点的直线l交椭圆M于E,F两点,试求
AE |
BF |
分析:(Ⅰ)以线段AB的中点为原点,以AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,设椭圆M的方程为
+
=1,由2a=AC+BC=8,2c=AB=4,能导出椭圆M的标准方程.
(Ⅱ)解法一:直线l经过椭圆的中心,设E(x0,y0),F(-x0,-y0),则
+
=1,y02=12-
x02,由A(-2,0),B(2,0),
=(x0+2,y0),
=(-x0-2,-y0),
•
=-(x0+2)2-y02=-
(x0+8)2,由此能求出
•
的取值范围.
解法二:由椭圆的性质得
=-
,
=-
,
=
-
=-(
-
)=-
,
•
=-|
|2.由此能求出
•
的取值范围.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(Ⅱ)解法一:直线l经过椭圆的中心,设E(x0,y0),F(-x0,-y0),则
x02 |
16 |
y02 |
12 |
3 |
4 |
AE |
BF |
AE |
BF |
1 |
4 |
AE |
BF |
解法二:由椭圆的性质得
OA |
OB |
OE |
OF |
AE |
OE |
OA |
OF |
OB |
BF |
AE |
BF |
AE |
AE |
BF |
解答:
解:(Ⅰ)如图,以线段AB的中点为原点,以AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,由已知设椭圆M的方程为
+
=1,根据定义2a=AC+BC=8,2c=AB=4,b2=a2-c2,b>0a=4,c=2,b=2
∴椭圆M的标准方程
+
=1.
(Ⅱ)解法一:直线l经过椭圆的中心,设E(x0,y0),F(-x0,-y0),
则
+
=1,y02=12-
x02
又A(-2,0),B(2,0),
∴
=(x0+2,y0),
=(-x0-2,-y0)
∴
•
=-(x0+2)2-y02=-(x0+2)2-(12-
x02)=-
(x0+8)2
由椭圆的性质得-4≤x0≤4
∴-36≤-
(x0+8)2≤-4
∴
•
的取值范围是[-36,-4].
解法二:由椭圆的性质得
=-
,
=-
∴
=
-
=-(
-
)=-
∴
•
=-|
|2.
又A是椭圆M的焦点.点E在椭圆M上a-c≤|
|≤a+c,即2≤|
|≤6,-36≤-|
|2≤-4
∴
•
的取值范围是[-36,-4].

x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
3 |
∴椭圆M的标准方程
x2 |
16 |
y2 |
12 |
(Ⅱ)解法一:直线l经过椭圆的中心,设E(x0,y0),F(-x0,-y0),
则
x02 |
16 |
y02 |
12 |
3 |
4 |
又A(-2,0),B(2,0),
∴
AE |
BF |
∴
AE |
BF |
3 |
4 |
1 |
4 |
由椭圆的性质得-4≤x0≤4
∴-36≤-
1 |
4 |
∴
AE |
BF |
解法二:由椭圆的性质得
OA |
OB |
OE |
OF |
∴
AE |
OE |
OA |
OF |
OB |
BF |
∴
AE |
BF |
AE |
又A是椭圆M的焦点.点E在椭圆M上a-c≤|
AE |
AE |
AE |
∴
AE |
BF |
点评:本题考查椭圆的标准方程的求法,求
•
的取值范围.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,注意合理地进行等价转化.
AE |
BF |

练习册系列答案
相关题目