题目内容
【题目】设
，且f(x)＝x有唯一解，
，xn＋1＝f(xn)(n∈N*)．
(1)求实数a的值；
(2)求数列{xn}的通项公式；
(3)若
，数列b1，b2－b1，b3－b2，…，bn－bn－1是首项为1，公比为
的等比数列，记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】
（1）由
＝x，得
，故
，由此能求出实数
．
（2）由（1）知，
，故
，由
，得
，由此能求出数列
的通项公式．
（3）由
，知
，故
，由此能够证明
．
(1)由题意知＝x有唯一解，
∴方程有唯一解
.
(2)由已知得xn＋1＝
，∴，
又，即
＝
，∴
＝＋
(n－1)＝
，∴xn＝
.
(3)由(2)可得
.
又bn＝b1＋(b2－b1)＋…＋(bn－bn－1)＝
(1－
)，∴cn＝anbn＝ (2n－1－
)，
∵数列{2n－1}的前n项和
，
数列{}的前
项和T2＝
＋
＋…＋＝1－
，
∴Sn＝ (n2－1＋)．
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