Question

已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组

0≤x≤ 2 y≤2 x≤ 2 y

给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为(

2

，1)，则z=

OM

•

OA

的最大值为

4

．

Answer 1

分析：首先画出可行域，z=

OM

•

OA

代入坐标变为z=

2

x+y，即y=-

2

x+z，z表示斜率为 -

2

的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=-

2

x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．

解答：解：由不等式组

0≤x≤ 2 y≤2 x≤ 2 y

给定的区域D如图所示：
z=

OM

•

OA

=

2

x+y，即y=-

2

x+z
首先做出直线l₀：y=-

2

x，将l₀平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．
因为B（

2

，2），故z的最大值为4．
故答案为：4．

点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．