题目内容

已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组
0≤x≤
2
y≤2
x≤
2
y
给定,若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(
2
,1)

(1)求区域D的面积
(2)设z=
2
x+y
,求z的取值范围;
(3)若M(x,y)为D上的动点,试求(x-1)2+y2的最小值.
分析:(1)作出题中不等式组对应的平面区域,得到如图所示的直角梯形OABC及其内部,其中A(
2
,1),B(
2
,2),C(0,2),由梯形面积公式即可算出区域D的面积;
(2)将目标函数z=
2
x+y
对应的直线进行平移,可得当x=
2
,y=2时z达到最大值;当x=y=0时z达到最小值.由此即可得到z的取值范围;
(3)设N(1,0),可得(x-1)2+y2表示N、M两点之间的距离平方值,运动点M可得当M在OA上且MN⊥OA时,MN取到最小值.因此结合点到直线的距离公式,即可算出(x-1)2+y2的最小值.
解答:(1)由不等式组
0≤x≤
2
y≤2
x≤
2
y
表示的平面区域,得到四边形ABCO及其内部,
其中A(
2
,1),B(
2
,2),C(0,2)
∴平面区域D是如图所示的直角梯形OABC,其面积为
S=
1
2
(AB+CO)×BC=
3
2
2
(3分)
(2)将z=
2
x+y
对应的直线l进行平移,可得
当l经过点B时,z达到最大值;当l经过点0时,z达到最小值
∴zmax=
2
×
2
+2=4,zmin=0
由此可得,z的取值范围是[0,4]-----(7分)
(3)设N(1,0),结合M(x,y)为D上的动点,可得
(x-1)2+y2=|MN|2
运动点M,可得当点M与N在直线OA上的射影重合,即MN⊥OA时
点M、N的距离最短,此时|MN|=
1
1+2
=
3
3

∴|MN|2的最小值为
1
3
,即(x-1)2+y2的最小值是
1
3
.(12分)
点评:本题给出不等式组表示的平面区域,求区域的面积并讨论目标函数的取值范围,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、点到直线的距离公式和简单的线性规划等知识,属于中档题.
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