Question

【题目】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△PCD为正三角形，∠BAD=30°，AD=4，AB=2，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC中点．

（1）证明：BE⊥PC；

（2）求多面体PABED的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3

【解析】

（1）先证明PC⊥面BDE，再证明BE⊥PC；

（2）先求的体积，再求的体积，从而可得多面体PABED的体积．

（1）∵BD2=AB2+AD22ABADcos∠BAD=4，∴BD=2，

∴∠ABD=90°，∴BD⊥CD，∵面PCD⊥面ABCD，面PCD∩面ABCD=CD，

∴BD⊥面PCD，∴BD⊥PC，∵△PCD是正三角形，E为PC的中点，∴DE⊥PC，

∴PC⊥面BDE，∴BE⊥PC．

（2）作PF⊥CD，EG⊥CD，F，G为垂足，∵面PCD⊥面ABCD，

∴PF⊥面ABCD，EG⊥面ABCD，∵△PCD是正三角形，CD=2，

∴PF=3，EG=，∴VP-ABCD==4，

=，

∴多面体PABED的体积V=VP-ABCD-VE-BCD=4=3．