Question

【题目】已知命题，；命题：关于的方程有两个不同的实数根.

（1）若为真命题，求实数的取值范围；

若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根据对数函数的性质可得命题为真的等价命题为，由判别式大于零可得命题为真的等价命题，根据假真，列不等式求解即可；（2）由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.

（1）令，则函数在上是增函数，

故当时，最大值为.

当命题为真时，则，解得.

当命题为真时，则，解得.

若为真，则假真，

∴，解得，

即实数的取值范围为.

（2）若为真命题，为假命题，则一真一假，

若真假，则，解得；

若假真，则，解得.

综上所述，实数的取值范围为.