题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,椭圆
的左顶点为
,过点
的直线与椭圆
交于
轴上方一点
,以
为边作矩形
,其中直线
过原点
.当点
为椭圆
的上顶点时,
的面积为
,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求矩形面积
的最大值;
(3)矩形能否为正方形?请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
为正方形,理由见解析.
【解析】
(1)根据题意得出关于、
的方程组,解出
、
的值,即可得出椭圆
的标准方程;
(2)设直线的方程为
,其中
,将直线
的方程与椭圆
的方程联立,求出点
的坐标,利用两点间的距离公式求出
,并求出
,可得出四边形
的面积
关于
的表达式,然后利用基本不等式可求得
的最大值;
(3)由四边形为正方形得出
,可得出
,构造函数
,利用零点存在定理来说明函数
在
时有零点,进而说明四边形
能成为正方形.
(1)由题意:,解得
,
,
所以椭圆的标准方程为
;
(2)显然直线的斜率存在,设为
且
,则直线
的方程为
,即
,
联立得
,
解得,
,所以
,
直线的方程为
,即
,所以
,
所以矩形面积
,
所以当且仅当时,矩形
面积
取最大值为
;
(3)若矩形为正方形,则
,即
,则
,
令,
因为,
,又
的图象不间断,
所以有零点,所以存在矩形
为正方形.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数
之间的关系,经过调查得到如下数据:
间隔时间( | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等侯人数( | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求
与实际等候人数
的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.
(1)若选取的是后面4组数据,求关于
的线性回归方程
,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;
(2)为了使等候的乘客不超过35人,试用(1)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少(精确到整数)分钟?
附:对于一组数据,
,……,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,