题目内容
【题目】已知函数的定义域是且,,当时,.
(1)求证:是奇函数;
(2)求在区间上的解析式;
(3)是否存在正整数,使得当时,不等式有解?证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析; (2), (3)不存在正整数满足题意,证明见解析
【解析】
(1)由已知,得,进而结合,可得,结合奇函数的定义,即可得证;
(2)由,时,,结合已知.结合(1)中结论可得所求解析式;
(3)由(2)的结论及指数的运算性质,可将不等式转化为二次不等式的形式,进而分析出对应函数在区间,上的单调性,即可得到结论.
解:(1)证明:由,得,
由得,
故是奇函数;
(2)当,时,,
,
而,
;
(
,
因此,
不等式即为,
即.
令,对称轴为,
因此函数在,上单调递增,
因为,又为正整数,
所以,因此在,上恒成立,
因此不存在正整数使不等式有解.
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