题目内容
【题目】已知椭圆:
经过点
,离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线
交椭圆于
,
两点,
为椭圆
的左焦点,若
,求直线
的方程.
【答案】(1);(2)
或
【解析】
(1)由椭圆的离心率可得,
,从而使椭圆方程只含一个未知数
,把点的坐标代入方程后,求得
,进而得到椭圆的方程为
;
(2)因为直线过定点,所以只要求出直线的斜率即可,此时需对直线的斜率分等于0和不等于0两种情况进行讨论,当斜率不为0时,设直线
的方程为
,点
、
,利用
得到关于
的方程,并求得
.
(1)设椭圆的焦距为
,则
,
∴,
,
所以,椭圆的方程为
,
将点的坐标代入椭圆
的方程得
,
解得,则
,
,
因此,椭圆的方程为
.
(2)①当直线斜率为0时,
与椭圆交于
,
,而
.
此时,故不符合题意.
②当直线斜率不为0时,设直线
的方程为
,设点
、
,
将直线的方程代入椭圆的方程,并化简得
,
,解得
或
,
由韦达定理可得,
,
,同理可得
,
所以
,即
解得:,符合题意
因此,直线的方程为
或
.
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