题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若函数
在定义域
内单调递增，求实数
的取值范围；
（2）对于任意的正实数
，且
，求证：
.
【答案】(1)
;(2)见解析.
【解析】
（1）函数
在定义域
内单调递增，等价于
对于任意
恒成立，即
对于任意恒成立，利用基本不等式求出函数最小值，从而可得结果；（2）设
.令
，则
，原不等式等价于
，可证明
在上递增.又因为，则
，从而可得结论.
（1）依题意，导数
对于任意恒成立，即不等式
对于任意恒成立，即不等式对于任意恒成立;
又因为当时
（当
时取等号），则
，故实数
的取值范围是
.
(2)由于目标不等式
中两个字母
与
可以轮换，则不妨设.令，则.
欲证目标不等式 
. （※）
根据（1）的结论知，当
时在上递增.又因为，则
，则不等式（※）正确，故原目标不等式得证.
练习册系列答案
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