题目内容

若M，N是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上关于原点对称的两个点，P是椭圆C上任意一点．若直线PM、PN斜率存在，则它们斜率之积为（　　）
分析：设P（x0，y0），M（x1，y1），N（-x1，-y1）．代入椭圆方程得到
y
2
0
=b2(1-
x
2
0
a2
)，
y
2
1
=b2(1-
x
2
1
a2
)．再利用斜率计算公式可得kPM•kPN=
y1-y0
x1-x0
•
-y1-y0
-x1-x0
=
y
2
1
-
y
2
0
x
2
1
-
x
2
0
即可得出．
解答：解：设P（x0，y0），M（x1，y1），N（-x1，-y1）．
则
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1，
x
2
1
a2
+
y
2
1
b2
=1，
得到
y
2
0
=b2(1-
x
2
0
a2
)，
y
2
1
=b2(1-
x
2
1
a2
)．
∴
y
2
1
-
y
2
0
=b2(
x
2
0
a2
-
x
2
1
a2
)．
∴kPM•kPN=
y1-y0
x1-x0
•
-y1-y0
-x1-x0
=
y
2
1
-
y
2
0
x
2
1
-
x
2
0
=
b2
a2
(
x
2
0
-
x
2
1
)
x
2
1
-
x
2
0
=-
b2
a2
．
故选D．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、斜率计算公式，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点，若椭圆C上的一点A（1，
3
2
）到F1，F2的距离之和为4．
（1）求椭圆方程；
（2）若M，N是椭圆C上两个不同的点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，求证：|
OP
|＜
1
2
；
（3）若M，N是椭圆C上两个不同的点，Q是椭圆C上不同于M，N的任意一点，若直线QM，QN的斜率分别为KQM•KQN．问：“点M，N关于原点对称”是KQM•KQN=-
3
4
的什么条件？证明你的结论．
（2012•泉州模拟）已知椭圆C的方程为：
x2
a2
+
y2
2
=1 (a＞0)，其焦点在x轴上，离心率e=
2
2
．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x0，y0）满足
OP
=
OM
+2
ON
，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-
1
2
，求证：x02+2
y
2
0
为定值．
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．
（2012•江苏二模）如图，已知椭圆C：
x2
4
+y2=1，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点．
（1）设P是椭圆C上任意一点，若
OP
=m
OA
+n
OB
，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；
（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．
如图，已知椭圆C：，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点．
（1）设P是椭圆C上任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；
（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．
如图，已知椭圆C：，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点．
（1）设P是椭圆C上任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；
（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．

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