Question

若M，N是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上关于原点对称的两个点，P是椭圆C上任意一点．若直线PM、PN斜率存在，则它们斜率之积为（　　）

• A．

  a2

  b2

• B．-

  a2

  b2

• C．

  b2

  a2

• D．-

  b2

  a2

Answer 1

分析：设P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．代入椭圆方程得到

y

2 0

=b2(1-

x 2 0

a2

)，

y

2 1

=b2(1-

x 2 1

a2

)．再利用斜率计算公式可得k_PM•k_PN=

y1-y0

x1-x0

•

-y1-y0

-x1-x0

=

y 2 1 - y 2 0

x 2 1 - x 2 0

即可得出．

解答：解：设P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．
则

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，
得到

y

2 0

=b2(1-

x 2 0

a2

)，

y

2 1

=b2(1-

x 2 1

a2

)．
∴

y

2 1

-

y

2 0

=b2(

x 2 0

a2

-

x 2 1

a2

)．
∴k_PM•k_PN=

y1-y0

x1-x0

•

-y1-y0

-x1-x0

=

y 2 1 - y 2 0

x 2 1 - x 2 0

=

b2 a2 ( x 2 0 - x 2 1 )

x 2 1 - x 2 0

=-

b2

a2

．
故选D．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、斜率计算公式，属于中档题．