Question

（2012•泉州模拟）已知椭圆C的方程为：

x2

a2

+

y2

2

=1 (a＞0)，其焦点在x轴上，离心率e=

2

2

．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x₀，y₀）满足

OP

=

OM

+2

ON

，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，求证：x02+2

y

2 0

为定值．
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆焦点在x轴上，离心率e=

2

2

，即可求出椭圆的标准方程；
（2）假设M，N的坐标，利用向量条件寻找坐标之间的关系，结合点M，N在椭圆

x2

4

+

y2

2

=1上，即可证明x02+2

y

2 0

为定值；
（3）由（2）知点P是椭圆

x2

20

+

y2

10

=1上的点，根据椭圆的定义可得该椭圆的左右焦点满足|PA|+|PB|为定值．

解答：（1）解：由e=

2

2

，b²=2，解得c=b=

2

，a=2，故椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由

OP

=

OM

+2

ON

，得（x₀，y₀）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），
即x₀=x₁+2x₂，y₀=y₁+2y₂，
∵点M，N在椭圆

x2

4

+

y2

2

=1上，
∴x12+2y12=4，x22+2y22=4
设k_OM，k_ON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，kOM•kON=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
故x02+2

y

2 0

=(x12+4x22+4x1x2)+2(y12+4y22+4y1y2)
=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2)=20，
即x02+2

y

2 0

=20（定值）　　　　　　　　　　　
（3）证明：由（2）知点P是椭圆

x2

20

+

y2

10

=1上的点，
∵c=

20-10

=

10

，
∴该椭圆的左右焦点A(-

10

，0)、B(

10

，0)满足|PA|+|PB|=4

5

为定值，
因此存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值．

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查向量知识的运用，考查存在性问题的探究，解题的关键是利用向量知识，将向量坐标化．