题目内容
【题目】已知函数,若点
在
的图像上运动,则点
在
的图象上运动
(1)求的最小值,及相应的
值
(2)求函数的解析式,指出其定义域
,判断并证明
在
上的单调性
(3)在函数和
的图象上是否分别存在点
关于直线
对称,若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由
【答案】(1)的最小值为2,对应的
为0;(2)
,定义域为
,
,单调递增,证明见解析;(3)存在
【解析】
(1)写出的解析式,依据基本不等式性质即可求解;
(2)根据点的关系求出解析式,写出
的解析式即可判断单调性;
(3)设两点的坐标根据位置和对称关系列方程组求解.
(1),当且仅当
即
时,等号成立,即
的最小值为2,对应的
为0.
(2)设图象上点
,由题:
,所以
点在
的图像上运动,则
,
所以,
,由
得其定义域为
所以,定义域为
在定义域内为增函数,证明如下:
任取,根据指数函数和对数函数单调性有:
,
,
,
即
所以在定义域内是增函数.
(3)假设函数和
的图象上分别存在点
关于直线
对称,
设其坐标,则有:
解得:
故在函数和
的图象上分别存在点
关于直线
对称.
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