题目内容

【题目】已知椭圆:的左右焦点分别为,左顶点为,点在椭圆上,且的面积为.

(1)求椭圆的方程;

(2)过原点且与轴不重合的直线交椭圆两点,直线分别与轴交于点,.求证:以为直径的圆恒过交点,并求出面积的取值范围.

【答案】(1)(2)

【解析】试题分析:(Ⅰ)根据点在椭圆上,且△的面积为,结合性质 ,列出关于的方程组,求出,即可得椭圆的方程;(Ⅱ)直线的方程为,设点(不妨设),则点,由,消去,所以,可证明,同理,则以为直径的圆恒过焦点,可得,进而可得结果.

试题解析:(Ⅰ)

又点在椭圆上,

解得,或(舍去),又

所以椭圆的方程为

(Ⅱ)

方法一:当直线的斜率不存在时,为短轴的两个端点,则,则以为直径的圆恒过焦点

的斜率存在且不为零,设直线的方程为

设点不妨设),则点

,消去,所以

所以直线的方程为

因为直线轴交于点,令

即点,同理可得点

,同理

则以为直径的圆恒过焦点

的斜率存在且不为零时,

面积为

又当直线的斜率不存在时,,△面积为

面积的取值范围是

方法二:当不为短轴的两个端点时,设

,由点在椭圆上,

所以直线的方程为,令

即点,同理可得点

为直径的圆可化为

代入,化简得

解得

为直径的圆恒过焦点

,又,

面积为

为短轴的两个端点时,,△面积为

面积的取值范围是

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