题目内容
如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，侧棱长为2，底面△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=| 3 |
（1）求点D到AB所在直线的距离．
（2）求二面角A1-BD-B1的度数．
分析：（1）根据线面垂直的性质可知AB⊥BD即BD为点D到AB所在直线的距离，再根据线面所成角的定义可知∠DBC即为BD与底面所成角，可求出BD，即可求得所求；
（2）过B1作BD的垂线角BD与E，连接A1E，B1E，根据二面角平面角的定义可知∠A1EB1为二面角A1-BD-B1的平面角，在直角三角形A1B1E中，求出此角即可．
（2）过B1作BD的垂线角BD与E，连接A1E，B1E，根据二面角平面角的定义可知∠A1EB1为二面角A1-BD-B1的平面角，在直角三角形A1B1E中，求出此角即可．
解答：
解：（1）∵BD在底面的射影为BC
∴∠DBC即为BD与底面所成角则∠DBC=30°
∵∠B=90°，直三棱柱ABC-A1B1C1，
∴AB⊥侧面BC1，而BD?侧面BC1，
∴AB⊥BD即BD为点D到AB所在直线的距离
在直角三角形BDC中，BD=2
∴点D到AB所在直线的距离为2
（2）过B1作BD的垂线角BD与E，连接A1E，B1E
∵A1B1⊥侧面BC1，
∴∠A1EB1为二面角A1-BD-B1的平面角
在直角三角形A1B1E中，A1B1=1，B1E=
∴tan∠A1EB1=
∴∠A1EB1=30°
即二面角A1-BD-B1的度数为30°
解：（1）∵BD在底面的射影为BC∴∠DBC即为BD与底面所成角则∠DBC=30°
∵∠B=90°，直三棱柱ABC-A1B1C1，
∴AB⊥侧面BC1，而BD?侧面BC1，
∴AB⊥BD即BD为点D到AB所在直线的距离
在直角三角形BDC中，BD=2
∴点D到AB所在直线的距离为2
（2）过B1作BD的垂线角BD与E，连接A1E，B1E
∵A1B1⊥侧面BC1，
∴∠A1EB1为二面角A1-BD-B1的平面角
在直角三角形A1B1E中，A1B1=1，B1E=
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∴tan∠A1EB1=
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∴∠A1EB1=30°
即二面角A1-BD-B1的度数为30°
点评：本题主要考查了点到平面的距离，以及二面角的度量等有关知识，同时考查了空间想象能力、推理论证的能力，和转化与划归的思想，属于中档题．
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