Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，E是棱CC₁上动点，F是AB中点，AC=BC=2，AA₁=4．
（1）求证：CF⊥平面ABB₁；
（2）当E是棱CC₁中点时，求证：CF∥平面AEB₁；
（3）在棱CC₁上是否存在点E，使得二面角A-EB₁-B的大小是45°，若存在，求CE
的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证CF⊥平面ABB₁，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CF垂直平面ABB₁内两相交直线垂直，而CF⊥BB₁，CF⊥AB，BB₁∩AB=B，满足定理条件；
（Ⅱ）取AB₁的中点G，连接EG，FG，欲证CF∥平面AEB₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证CF与平面AEB₁内一直线平行即可，而CF∥EG，CF?平面AEB₁，EG?平面AEB₁，满足定理条件．EB₁-B
（III）以C为坐标原点，射线CA，CB，CC₁为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系C-xyz，设出E点坐标，分别求出平面AEB₁与EB₁B的法向量，根据二面角A-EB₁-B的大小是45°，代入向量夹角公式，构造方程即可得到答案．

解答：证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥平面ABC．
又∵CF?平面ABC，
∴CF⊥BB₁．
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，F是AB中点，
∴CF⊥AB．
又∵BB₁∩AB=B，
∴CF⊥平面ABB₁．
（Ⅱ）取AB₁的中点G，连接EG，FG．
∵F、G分别是棱AB、AB₁中点，
∴FG∥BB₁，FG=

1

2

BB₁．
又∵EC∥BB₁，EC=

1

2

BB1，
∴FG∥EC，FG=EC．
∴四边形FGEC是平行四边形，
∴CF∥EG．
又∵CF?平面AEB₁，EG?平面AEB₁，
∴CF∥平面AEB₁．（9分）
（3）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC₁为x，y，z轴正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz
则C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，2，4）（10分）
设E（0，0，m），平面AEB₁的法向量

n

=（x，y，z）
则

AB1

=（-2，2，4），

AE

=（-2，0，m）
且

AB1

⊥

n

，

AE

⊥

n

，
于是

AB1 • n =0 AE • n =0

，即

-2x+2y+4z=0 -2x+mz=0

取z=2，则

n

=（m，m-4，2）（12分）
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC，
又∵AC?平面ABC
∴AC⊥BB₁
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC
∴AC⊥平面ECBB₁
∴

CA

=（2，0，0）是平面EBB₁的法向量，
二面角A-EB₁-B的大小是45°，
则cos45°=

2

2

=

CA • n

| CA |•| n |

=

2m

2 m2+(m-4)2+22

（13分）
解得m=

5

2

∴在棱CC₁上存在点E，使得二面角A-EB₁-B的大小是45°．
此时CE=

5

2

   （14分）

点评：本小题主要考查直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．