Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4，E、F分别是棱CC₁、AB中点．
（1）判断直线CF和平面AEB₁的位置关系，并加以证明；
（2）求四棱锥A-ECBB₁的体积．

Answer 1

分析：（1）取AB₁的中点G，连接EG，FG．根据三角形中位线定理，得出FG∥B₁B且FG=

1

2

B₁B，又因为矩形BB₁C₁C中，EC∥B₁B且EC=

1

2

B₁B，所以EC与FG平行且相等，四边形FGEC是平行四边形，CF∥EG，从而得到CF∥平面AEB₁．
（2）根据题意，计算出梯形ECBB₁的面积，结合AC⊥平面ECBB₁和锥体体积公式，即可算出四棱锥A-ECBB₁的体积．

解答：解：（1）CF∥平面AEB₁，证明如下：
取AB₁的中点G，连接EG，FG
∵△A₁AB中，F、G分别是棱AB、AB₁中点   
∴FG∥B₁B且FG=

1

2

B₁B  
又∵矩形BB₁C₁C中，EC∥B₁B且EC=

1

2

B₁B  
∴EC∥FG且EC=FG，得四边形FGEC是平行四边形  
∴CF∥EG
又∵CF?平面AEB₁，EG?平面AEB₁，
∴CF∥平面AEB₁．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC，
又∵AC?平面ABC，∴AC⊥BB₁
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，而且BB₁、BC是平面ECBB₁内的相交直线
∴AC⊥平面ECBB₁ 
∵E是棱CC₁的中点，得EC=

1

2

AA₁=2
∴S_梯形ECBB1=

1

2

（EC+BB₁）BC=

1

2

（2+4）×2=6
∴四棱锥A-ECBB₁的体积V=

1

3

S_梯形ECBB1×AC=

1

3

×6×2=4

点评：本题在直三棱柱中探索线面平行，并求锥体体积公式，着重考查线面平行的判定、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．