题目内容

15.已知函数f(x)=$\frac{1}{2}$ln(2x+1)-mx(m∈R).
(1)求函数f(x)=$\frac{1}{2}$ln(2x+1)-mx(m∈R)的单调区间;
(2)若函数2f(x)≤m+1恒成立,求m的取值范围.

分析 (1)求出函数的定义域,函数的导数,通过m与0 的大小的讨论,求解函数的单调性即可得到函数的单调区间.
(2)利用函数恒成立,转为化函数的最值问题,借助(1)的解答判断求解即可.

解答 解:(1)∵f(x)=$\frac{1}{2}$ln(2x+1)-mx,x>-$\frac{1}{2}$,
∴f′(x)=$\frac{1}{1+2x}$-m,
∵2x+1>0,∴当m≤0时,f′(x)>0,…(2分)
当m>0时,f′(x)=0,解得x=$\frac{1}{2m}$-$\frac{1}{2}$,m-$\frac{1}{2}$>-$\frac{1}{2}$,
列表

 x ($-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$) $\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$($\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$,+∞)
 f'(x+ 0-
 f(x) 递增 极大值 递减
综上所述:
当m≤0时,f(x)的增区间是(-$\frac{1}{2}$,+∞),
当m>0时,f(x)的增区间是($-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$),减区间是($\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$,+∞)…(6分)
(2)若函数2f(x)≤m+1恒成立,只需f(x)的最大值小于等于$\frac{m+1}{2}$,
当m≤0时,f(x)=$\frac{1}{2}$ln(2x+1)-mx的值趋向于无穷大,故不成立,…(10分)
当m>0时,由(1)知f(x)有唯一的极值且是极大值,
所以,当x=$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$时,f(x)的函数值最大,…(12分)
所以,2f($\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$)=ln($\frac{1}{m}$-1+1)-$m(\frac{1}{m}-1)$=ln$\frac{1}{m}$-(1-m)≤m+1,解得,m≥$\frac{1}{{e}^{2}}$,
故函数2f(x)≤m+1恒成立时,m的取值范围是[$\frac{1}{{e}^{2}}$,+∞);…(14分)

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,考查转化思想,导数的基本应用,函数恒成立,综合性较强,难度较大.

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