题目内容
15.已知函数f(x)=$\frac{1}{2}$ln(2x+1)-mx(m∈R).(1)求函数f(x)=$\frac{1}{2}$ln(2x+1)-mx(m∈R)的单调区间;
(2)若函数2f(x)≤m+1恒成立,求m的取值范围.
分析 (1)求出函数的定义域,函数的导数,通过m与0 的大小的讨论,求解函数的单调性即可得到函数的单调区间.
(2)利用函数恒成立,转为化函数的最值问题,借助(1)的解答判断求解即可.
解答 解:(1)∵f(x)=$\frac{1}{2}$ln(2x+1)-mx,x>-$\frac{1}{2}$,
∴f′(x)=$\frac{1}{1+2x}$-m,
∵2x+1>0,∴当m≤0时,f′(x)>0,…(2分)
当m>0时,f′(x)=0,解得x=$\frac{1}{2m}$-$\frac{1}{2}$,m-$\frac{1}{2}$>-$\frac{1}{2}$,
列表
x | ($-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$) | $\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$ | ($\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$,+∞) |
f'(x | + | 0 | - |
f(x) | 递增 | 极大值 | 递减 |
当m≤0时,f(x)的增区间是(-$\frac{1}{2}$,+∞),
当m>0时,f(x)的增区间是($-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$),减区间是($\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$,+∞)…(6分)
(2)若函数2f(x)≤m+1恒成立,只需f(x)的最大值小于等于$\frac{m+1}{2}$,
当m≤0时,f(x)=$\frac{1}{2}$ln(2x+1)-mx的值趋向于无穷大,故不成立,…(10分)
当m>0时,由(1)知f(x)有唯一的极值且是极大值,
所以,当x=$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$时,f(x)的函数值最大,…(12分)
所以,2f($\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$)=ln($\frac{1}{m}$-1+1)-$m(\frac{1}{m}-1)$=ln$\frac{1}{m}$-(1-m)≤m+1,解得,m≥$\frac{1}{{e}^{2}}$,
故函数2f(x)≤m+1恒成立时,m的取值范围是[$\frac{1}{{e}^{2}}$,+∞);…(14分)
点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,考查转化思想,导数的基本应用,函数恒成立,综合性较强,难度较大.

练习册系列答案
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5.某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分別随机抽取100个.整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图:

(Ⅰ)写出频率分布直方图1中的a的值;并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图;
(Ⅱ)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为s${\;}_{1}^{2}$,s${\;}_{2}^{2}$,试比较s${\;}_{1}^{2}$与s${\;}_{2}^{2}$的大小;(只需写出结论)
(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该该组区间的中点值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月(按30天计箅)的销售量总量.
分组(日销售量) | 频率(甲种酸奶) |
[0,10] | 0.10 |
(10,20] | 0.20 |
(20,30] | 0.30 |
(30,40] | 0.25 |
(40,50] | 0.15 |

(Ⅰ)写出频率分布直方图1中的a的值;并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图;
(Ⅱ)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为s${\;}_{1}^{2}$,s${\;}_{2}^{2}$,试比较s${\;}_{1}^{2}$与s${\;}_{2}^{2}$的大小;(只需写出结论)
(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该该组区间的中点值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月(按30天计箅)的销售量总量.
20.经过坐标原点,且与圆(x-3)2+(y+1)2=2相切于第四象限的直线方程是( )
A. | x-y=0 | B. | x+y=0 | C. | x-7y=0 | D. | x+7y=0 |