Question

【题目】设a,b,c为正实数,且满足abc=1,试证明: + + ≥ .

Answer 1

【答案】解：由abc=1,得 = , = , = ,则原不等式等价于
+ + ≥ .
证法一：运用柯西不等式,有
(ab+bc+ca)2=( + + )2
≤( + + )(ca+cb+ab+ac+ab+bc),
于是, + + ≥ (ab+bc+ca)≥ ·3 = .
证法二：由基本不等式得
+ ≥2 =bc.
+ ≥ac, + ≥ab,
相加得
+ + ≥ (ab+ca+bc)≥ ·3 = .
证法三：设s= ·bc+ ·ac+ ·ab.
设a≤b≤c,则ab≤ac≤bc,ab+ac≤ab+bc≤ac+bc.
于是 ≥ ≥ ,由此推知s为顺序和,由排序不等式得
s≥ ·ac+ ·ab+ ·bc= + + ,
s≥ ·ab+ ·bc+ ·ac= + + ,
相加得
2s≥ + + ≥3 =3,所以s≥ .
【解析】本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是设a≤b≤c,则ab≤ac≤bc,ab+ac≤ab+bc≤ac+bc.于是 ≥ ≥ ,由此推知s为顺序和,由排序不等式分析分组相加即可证明
【考点精析】根据题目的已知条件，利用排序不等式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和）当且仅当或时，反序和等于顺序和．