Question

6．某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2013年11月11日的网购金额，所得数据如下表：

网购金额（单位：千元）	（0，1]	（1，2]	（2，3]	（3，4]	（4，5]	（5，6]	合计
人数	16	24	x	y	16	14	200
频率	0.08	0.12	p	q	0.08	0.07	1.00

已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2．
（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）．
（2）该部门为了了解该市网友的购物体验，从这200网友中，用分层抽样的方法从网购金额在（1，2]和（4，5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈．
①求此2人来自不同群体的概率是多少？
②（只理科生做）若来自网购金额在（1，2]的群体中的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布表及频率=$\frac{频数}{总数}$列出方程组，能求出x，y，p，q的值，并能补全频率分布直方图．
（2）①法一：根据题意，网购金额在（1，2]内的人数为3人，网购金额在（4，5]内的人数为2人，利用列举法能求出2人来自不同群体的概率．
①法二：根据题意，网购金额在（1，2]内的人数为3人，网购金额在（4，5]内的人数为2人，利用排列组合知识能求出2人来自不同群体的概率概率．
②ξ可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）依题意有：$\left\{\begin{array}{l}{16+24+x+y+16+14=200}\\{\frac{16+24+x}{y+16+14}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=80}\\{y=50}\end{array}\right.$，
∴p=0.4，q=0.25．补全频率分布直方图如右图．
（2）①根据题意，网购金额在（1，2]内的人数为$\frac{24}{24+16}$×5=3（人），记为a，b，c．
网购金额在（4，5]内的人数为$\frac{16}{24+16}$×5=2（人），记为A，B．
则从这5人中随机选取2人的选法为：（a，b），（a，c），（a，A），
（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）共10种．
记2人来自不同群体的事件为M，则M中含有（a，A），（a，B），
（b，A），（b，B），（c，A），（c，B）共6种．∴P（M）=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．
法二：根据题意，网购金额在（1，2]内的人数为$\frac{24}{24+16}$×5=3（人），
网购金额在（4，5]内的人数为$\frac{16}{24+16}$×5=2（人），
故所求的概率为$P=\frac{C_2^1C_3^1}{C_5^2}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．
②ξ可能取值为0，1，2．
∵$P（{ξ=0}）=\frac{C_2^2}{C_5^2}=\frac{1}{10}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$

∴ξ的数学期望$E（ξ）=0×\frac{1}{10}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{3}{10}=\frac{6}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机就是的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都有必考题型之一．