Question

18．已知函数f（x）=x²-ax+a（x∈R），在定义域内有且只有一个零点，存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立． 若n∈N^*，f（n）是数列{a_n}的前n项和．设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_k•c_k+1＜0的正整数k的个数称为这个数列{c_n}的变号数，令c_n=1-$\frac{4}{{a}_{n}}$，则数列{c_n}的变号数是3．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）在定义域内有且只有一个零点，可得△=0，解得a=0或a=4．当a=0时，不满足条件舍去．综上，得a=4，f（x）=x²-4x+4，S_n=n²-4n+4，利用当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）由题设c_n=$\left\{\begin{array}{l}{-3，n=1}\\{1-\frac{4}{2n-5}，n≥2}\end{array}\right.$，当n≥3时，c_n+1-c_n＞0，可得：当n≥3时，数列列{c_n}递增，分别求出c₁，c₂，c₃，c₄，c₅，即可得出变号数．

解答 解：（1）∵函数f（x）在定义域内有且只有一个零点，
∴△=a²-4a=0，解得a=0或a=4．
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∞）上递增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
综上，得a=4，f（x）=x²-4x+4，
∴S_n=n²-4n+4，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n+4-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n-5，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）由题设c_n=$\left\{\begin{array}{l}{-3，n=1}\\{1-\frac{4}{2n-5}，n≥2}\end{array}\right.$，
当n≥3时，c_n+1-c_n=$\frac{4}{2n-5}$-$\frac{4}{2n-3}$=$\frac{8}{（2n-5）（2n-3）}$＞0，
∴当n≥3时，数列列{c_n}递增，c₄=-$\frac{1}{3}$＜0，
由$1-\frac{4}{2n-5}$＞0，解得n≥5．
可知a₄a₅＜0．
即n≥3时，有且只有1个变号数；
又c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，
即c₁c₂＜0，c₂c₃＜0，
∴此处变号数有2个．
综上可得：数列{c_n}共有3个变号数，即变号数为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了二次函数的性质、“裂项求和”、递推关系的应用、新定义“变号数”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．