Question

已知函数f（x）=x³+ax²+2（a∈R）且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0．
求：（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f'（x）=3x²+2ax，而曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0
∴f'（2）=0…（4分）
∴3×4+4a=0∴a=-3…（6分）
（Ⅱ）f（x）=x³-3x²+2，f'（x）=3x²-6x
令f'（x）=0得x₁=0，x₂=2…（9分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表

x	-1	（-1，0）	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2	↗	2	↘	-2	↗	2

…（11分）
从上表可知，最大值是2，最小值是-2．…（12分）