题目内容

【题目】设过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于点 ,若以 为直径的圆过点 ,且与 轴交于 两点,则 ( )
A.3
B.2
C.-3
D.-2

【答案】C
【解析】抛物线焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=﹣1

设直线MN的方程为x=ty+1,A、B的坐标分别为( ,y1),( ,y2

联立直线和抛物线得到方程:y2﹣4my﹣4=0,

∴y1+y2=4m,y1y2=﹣4,

x1+x2=ty1+1+ty2+1=t(y1+y2)+2=4t2+2, =2t2+1, =2t,

则圆心D(2t2+1,2t),

由抛物线的性质可知:丨AB丨=x1+x2+p=4(t2+1),

由P到圆心的距离d= ,由题意可知:d= 丨AB丨,

解得:t=1,则圆心为(3,2),半径为4,∴圆的方程方程为(x﹣3)2+(y﹣2)2=42

则当y=0,求得与x轴的交点坐标,假设m>n,则m=3﹣2 ,n=3+2

∴mn=(3﹣2 )(3+2 )=﹣3,

所以答案是:C.


【考点精析】掌握圆的标准方程是解答本题的根本,需要知道圆的标准方程:;圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程.

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