Question

球面上三点A，B，C组成这个球的一个截面的内接三角形，AB=18，BC=24，AC=30，且球心到该截面的距离为球的半径的一半．
（1）求球的体积；
（2）求A，C两点的球面距离．

Answer 1

分析：（1）通过题意，确定△ABC的形状，先求球的半径，然后求球的体积．
（2）求出∠AOC，再求A，C两点的球面距离．

解答：解：（1）球面上三点A、B、C，平面ABC与球面交于一个圆，三点A、B、C在这个圆上
∵AB=18，BC=24，AC=30，AC²=AB²+BC²，
∴AC为这个圆的直径，AC中点M圆心球心O到平面ABC的距离，即OM=球半径的一半=

1

2

R，
在△OMA中，∠OMA=90°OM=

1

2

R，AM=

1

2

AC=15，OA=R
由勾股定理（

1

2

R）²+15²=R²，

3

4

R²=225 R²=300，R=10

3

球的体积S=

4

3

πR3=4000

3

π（体积单位）．
（2）由（1）可知∠AOC=120°
所以A，C两点的球面距离：

1

3

×2πR=

20 3 π

3

点评：本题考查球的体积及其他计算，考查学生空间想象能力，是中档题．