Question

3．在△ABC中，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=0，且AB=BC=1，点M满足$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{AM}$，则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{AC}$的值为-3．

Answer 1

分析 根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可将$\overrightarrow{CM}$和$\overrightarrow{AC}$用$\overrightarrow{CB}$与$\overrightarrow{AB}$表示，利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，运算求得结果．

解答 解：∵点M满足$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{AM}$，
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{AC}$=$（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}）$$•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）$
=$（\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{AM}）•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）$
=$（\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{BA}）•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）$
=$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{AB}-{\overrightarrow{CB}}^{2}-2{\overrightarrow{BA}}^{2}+2\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$，
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=0，AB=BC=1，
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{AC}$=-3．
故答案为：-3．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，属于中档题．