Question

15．已知数列满足又a₁=1，a_n+1=2a_n+3，（n∈N^*）
（1）求证数列{a_n+3}是等比数列，并求{a_n}的通项公式．
（2）若数列b_n=$\frac{3n}{{a}_{n}+3}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=2a_n+3变形可知$\frac{{{a_{n+1}}+3}}{{{a_n}+3}}=2$，进而数列{a_n+3}是以4为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可得b_n=3n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3），即$\frac{{{a_{n+1}}+3}}{{{a_n}+3}}=2$，
又∵a₁=1，即a₁+3=4，
∴数列{a_n+3}是以4为首项、2为公比的等比数列，
∴${a_n}+3=4×{2^{n-1}}={2^{n+1}}$，
∴${a_n}={2^{n+1}}-3$；
（2）解：由（1）可得：b_n=$\frac{3n}{{a}_{n}+3}$=3n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+6•$\frac{1}{{2}^{3}}$+9•$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+3n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}•$S_n=3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+6•$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+（3n-3）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$+3n•$\frac{1}{{2}^{n+2}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{3}{4}-3n•{（\frac{1}{2}）^{n+2}}+3•\frac{{{{（\frac{1}{2}）}^3}•[{1-{{（\frac{1}{2}）}^{n-1}}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}$
=$\frac{3}{2}$-（$\frac{3}{2}$n+3）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴${S_n}=3-（3n+6）•{（\frac{1}{2}）^{n+1}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．