题目内容
【题目】如图四棱锥P﹣ABCD底面是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1， 
，E是BC上的点， 
（1）试确定E点的位置使平面PED⊥平面PAC，并证明你的结论；
（2）在条件（1）下，求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．
【答案】
（1）证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DE，
若平面PED⊥平面PAC，
则需要ED⊥平面PAC，
即ED⊥AC即可．
∵PA=AB=1， 
，
∴P（0，0，1），D（0， 
，0），B（1，0，0），
C（1， ，0），
设BE=a，则E（1，a，0），
则 
=（1， ，0）， 
=（﹣1， ﹣a，0），
由 =（1， ，0）（﹣1， ﹣a，0）=0，
得﹣1+ （ ﹣a）=0，得a= 
，即E是BC的中点．
（2）解：在条件（1）下，即E是BC的中点，则E（1， ，0），
则 
=（1， ，﹣1）， 
=（0， ，0）， =（﹣1， ，0），
设平面BPE的法向量 
=（x，y，z），平面PED的法向量 
=（x，y，z），
则由 
得 
，即 
，令x=1，则z=1，即 =（1，0，1），
则由 
得 
，令y= ，则x=1，z=2即 =（1， ，2），
则cos＜ ， ＞|= 
= 
= 
= 
，
∵二面角B﹣PE﹣D是钝二面角，
∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为﹣ ．
【解析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明ED⊥AC即可．（2）求出平面的法向量利用向量法即可求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用平面与平面垂直的性质，掌握两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直即可以解答此题．
