题目内容
【题目】已知函数.
(1)证明在区间内有且仅有唯一实根;
(2)记在区间内的实根为,函数,若方程在区间有两不等实根,证明.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析
【解析】
(1)构造函数,利用导数证明在上单调递增,再结合零点定理即可得证;
(2)先理解题意,为取小函数,先确定函数在,的单调性,
再将证明命题转化为证明命题,即证,再构造函数利用导数证明即可.
(1)证明:,定义域为,而.故,即在上单调递增,
又,而在上连续,故在区间有且仅有唯一实根.
(2)由(1)知,当时,,且存在,使得
,故,
当时,,因而单增;当时,,因而递减;则. 要证:,只要证 ,因为 ,只要证,即证, 而在上递减,故可证,又由,即证,即,
记,,
记,当时,;时,故,,从而,因此,
即单增,从而时,,即,
故,所以,
故命题得证.
练习册系列答案
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分组 | ||||||
男生人数 | 2 | 16 | 19 | 18 | 5 | 3 |
女生人数 | 3 | 20 | 10 | 2 | 1 | 1 |
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.
(1)将频率视为概率,估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?
(2)从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.
①求男生和女生各抽取了多少人;
②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人,求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.