Question

9．设抛物线C：y²=2px（0＜p≤4）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，以MF为直径的圆过点（0，2）．
（1）求C的方程；
（2）在抛物线C上求一点T，使T点到直线x-4y+5=0的距离最短；
（3）已知直线l₁：4x-3y+6=0和直线l₂：x=-1，求抛物线C上的动点P直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线方程算出|OF|=$\frac{p}{2}$，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=$\sqrt{4+\frac{{p}^{2}}{4}}$．再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．
（2）利用点到直线的距离公式表示出距离，然后利用二次函数性质即可求得其最小值；
（3）过点F（1，0）作FQ⊥l₁，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l₂，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值．

解答 解：（1）∵抛物线C方程为y²=2px（p＞0）
∴焦点F坐标为（$\frac{p}{2}$，0），可得|OF|=$\frac{p}{2}$
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM
Rt△AOF中，|AF|=$\sqrt{4+\frac{{p}^{2}}{4}}$
∴sin∠OAF=$\frac{|OF|}{|AF|}$=$\frac{\frac{p}{2}}{\sqrt{4+\frac{{p}^{2}}{4}}}$
∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点∴$\frac{\sqrt{4+\frac{{p}^{2}}{4}}}{5}$=$\frac{\frac{p}{2}}{\sqrt{4+\frac{{p}^{2}}{4}}}$，整理得4+$\frac{{p}^{2}}{4}$=$\frac{5p}{2}$，解之可得p=2或p=8
∵0＜p≤4，∴抛物线C的方程为y²=4x；
（2）设T（x，y），则T点到直线x-4y+5=0的距离d=$\frac{|x-4y+5|}{\sqrt{1+16}}$=$\frac{|\frac{1}{4}（y-8）^{2}-11|}{\sqrt{17}}$，
∴y=8，x=16时，T（16，8）到直线x-4y+5=0的距离最短；
（3）如图所示，
过点F（1，0）作FQ⊥l₁，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l₂，垂足为M．
则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值．
|FQ|=$\frac{|4+6|}{\sqrt{16+9}}$=2．

点评 本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和点到直线的距离公式等知识，属于难题．