题目内容
【题目】如图,圆柱的轴截面是边长为2的正方形,点
是圆弧
上的一动点(不与
重合),点
是圆弧
的中点,且点
在平面
的两侧.
(1)证明:平面平面
;
(2)设点在平面
上的射影为点
,点
分别是
和
的重心,当三棱锥
体积最大时,回答下列问题.
(ⅰ)证明:平面
;
(ⅱ)求平面与平面
所成二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)(ⅰ)见解析(ⅱ)
【解析】
(1)证明垂直平面
内的两条相交直线
,再利用面面垂直的判定定理证明即可;
(2)当三棱锥体积最大时,点
为圆弧
的中点,所以点
为圆弧
的中点,所以四边形
为正方形,且
平面
.(ⅰ)连接
并延长交
于点
,连接
并延长交
于点
,连接
,则
,再由线面平行的判定定理证得结论;(ⅱ)由
平面
垂直
,所以以
为坐标原点,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,求出平面
的法向量
,平面
的法向量
,求两向量夹角的余弦值,进而得到二面角的正弦值.
(1)因为是轴截面,所以
平面
,所以
,
又点是圆弧
上的一动点(不与
重合),且
为直径,所以
,
又平面
平面
,所以
平面
,而
平面
,故平面
平面
.
(2)当三棱锥体积最大时,点
为圆弧
的中点,所以点
为圆弧
的中点,所以四边形
为正方形,且
平面
.
(ⅰ)连接并延长交
于点
,连接
并延长交
于点
,连接
,则
,
因为分别为两个三角形的重心,∴
,
所以,又
平面
平面
,所以
平面
.
(ⅱ)平面
垂直
,所以以
为坐标原点,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则,设平面
的法向量
,则
即
可取
,
又平面的法向量
,
所以,所以
.
所以平面与平面
所成二面角的正弦值为
.
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