Question

某渔业公司年初用49万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用6万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益25万元．
（1）问第几年开始获利？
（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以18万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以9万元出售该渔船．问哪种方案最合算？

Answer 1

（1）渔业公司第3年开始获利．（2）方案①较合算.

解析试题分析：（1）由题意列出获利y与年份n的函数关系，然后求解不等式得到n的范围，根据n是正的自然数求得n的值；
（2）用获利除以年份得到年平均获利，利用不等式求出最大值，求出获得的总利润，利用配方法求出获得利润的最大值，求出总获利，比较后即可得到答案．
试题解析：（1）第n年开始获利，设获利为y万元，则
y＝25n－[6n＋×2]－49＝－n²＋20n－49   2分
由y＝－n²＋20n－49＞0得10－＜n＜10＋　       4分
又∵n∈N*，∴n＝3，4
∴n＝3时，即该渔业公司第3年开始获利．   5分
（2）方案①：年平均获利为＝－n－＋20≤－2＋20＝6（万元）      7分
当n＝7时，年平均获利最大，若此时卖出，共获利6×7＋18＝60（万元）      8分
方案②：y＝－n²＋20n－49＝－(n－10)²＋51
当且仅当n＝10时，即该渔业公司第10年总额最大，若此时卖出，共获利51＋9＝60万元　  11分
因为两种方案获利相等，但方案②所需的时间长，所以方案①较合算．    12分
考点：函数模型的选择及应用;简单的建模思想;利用基本不等式求最值;配方法.