题目内容

（2012•普陀区一模）设点F是抛物线L：y2=4x的焦点，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N*）
（1）若抛物线L上三点P1、P2、P3的横坐标之和等于4，求|
FP1
|+|
FP2
|+|
FP3
|的值；
（2）当n≥3时，若
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
，求证：|
FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|   =2n；
（3）若将题设中的抛物线方程y2=4x推广为y2=2px（p＞0），请类比小题（2），写出一个一般化的命题及其逆命题，并判断其逆命题的真假．若是真命题，请予以证明；若是假命题，请说明理由．
分析：（1）抛物线l的焦点为F（1，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），利用抛物线的定义，结合x1+x2+x3=4，可得结论；
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn，利用抛物线的定义可得x1+x2+x3+…+xn=n，从而可证
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=2n
（3）当n≥3时，若
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
，求证：|
FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=np；
逆命题：当n≥3时，“若|
FP1
|+| 
FP2
|+…+|  
FPN
|=np，则
FP1
+
FP2
+…+
FPN
=
0
”
取n=4时，抛物线l的焦点为F（
p
2
，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，利用抛物线的定义，可得x1+x2+x3+x4=2p，从而可得结论．
解答：解：（1）抛物线l的焦点为F（1，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），
分别过P1、P2、P3作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，
∴|
FP1
|+|
FP2
|+|
FP3
|=（x1+
p
2
）+（x2+
p
2
）+（x3+
p
2
）=x1+x2+x3+3
∵x1+x2+x3=4，∴|
FP1
|+|
FP2
|+|
FP3
|=7
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn
∴
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+…+（xn+1）=x1+x2+x3+…+xn+n
∵
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
           
∴x1+x2+x3+…+xn=n
∴
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=n+n=2n
（3）当n≥3时，若
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
，求证：|
FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=np；
逆命题：当n≥3时，“若|
FP1
|+| 
FP2
|+…+|  
FPN
|=np，则
FP1
+
FP2
+…+
FPN
=
0
”
设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn
∴
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=（x1+
p
2
）+（x2+
p
2
）+（x3+
p
2
）+…+（xn+
p
2
）=x1+x2+x3+…+xn+
np
2

∵
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
           
∴x1+x2+x3+…+xn=
np
2

∴
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=
np
2
+
np
2
=np
逆命题为假命题：取n=4时，抛物线l的焦点为F（
p
2
，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，
∴
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FP4
|=x1+x2+x3+x4+2p=4p
∴x1+x2+x3+x4=2p
不妨取P1(
p
4
，
2
p
2
)，P2(
p
2
，p)，P3(
p
2
，-p)，P4(
3p
4
，
6
p
2
)，则
FP1
+
FP2
+…+
FP4
≠
0

故P1(
p
4
，
2
p
2
)，P2(
p
2
，p)，P3(
p
2
，-p)，P4(
3p
4
，
6
p
2
)是一个当n=4时，该逆命题的一个反例．
点评：本题考查抛物线的定义，考查向量的运算，解题的关键是正确运用抛物线的定义，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
（2012•普陀区一模）
e
1，
e
2是两个不共线的向量，已知
AB
=2
e
1+k
e
2，
CB
=
e
1+3
e
2
CD
=2
e
1-
e
2，且A，B，D三点共线，则实数k=
-8
-8
．
（2012•普陀区一模）设全集为R，集M={x|
x2
4
+y2=1}，N={x|
x-3
x+1
≤0}，则集合{x|(x+
3
2
)2+y2=
1
4
}可表示为（　　）
（2012•普陀区一模）已知数列{an}是首项为2的等比数列，且满足an+1=pan+2n(n∈N*)
（1）求常数p的值和数列{an}的通项公式；
（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、…第3n-2项，…，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，试写出数列
{bn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得
Tn+1
Tn
=
11
3
？若存在，试求所有满足条件的正整数n的值，若不存在，请说明理由．
（2012•普陀区一模）对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（　　）
（2012•普陀区一模）函数y=
1
log
1
2
|x-1|
的定义域是
（0，1）∪（1，2）
（0，1）∪（1，2）
．

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