Question

15．设对一切实数x有f（x+$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x+\frac{1}{2}）-{f}^{2}（x+\frac{1}{2}）}$，证明f（x）是周期函数．

Answer 1

分析 根据已知，利用平方法去除根号化简得：函数为常数函数，进而得到结论．

解答 证明：∵对一切实数x有f（x+$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x+\frac{1}{2}）-{f}^{2}（x+\frac{1}{2}）}$，
∴f（x+$\frac{1}{2}$）-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{f（x+\frac{1}{2}）-{f}^{2}（x+\frac{1}{2}）}$，
则f（x+$\frac{1}{2}$）≥$\frac{1}{2}$，且f²（x+$\frac{1}{2}$）-f（x+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{4}$=f（x+$\frac{1}{2}$）-f²（x+$\frac{1}{2}$），
即2f²（x+$\frac{1}{2}$）-2f（x+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{4}$=0
解得：f（x+$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即f（x）是常数函数，任意正实数均为函数的周期；

点评 本题考查的知识点是函数的周期性，其中得到函数是常数函数是解答的关键．