题目内容

(文)已知函数f(x)=(sin
3
ωx+cosωx)cosωx-
1
2
(ω>0)的最小正周期为4π.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边长分别是a,b,c满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.
分析:(1)利用三角公式化简 f(x)的结果为sin(2ωx+
π
6
),根据周期求出ω,由 2kπ-
π
2
x
2
+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,
求得f(x)的增区间.
(2)根据等式和正弦定理得到 2sinAcosB=sinA,求出cosB,从而求得 B,得到f(A)=sin(
1
2
•A+
π
6
),
0<A<
3
,求出f(A)的取值范围.
解答:解:(1)∵f(x)=sin
3
ωxcosωx+cos2ωx-
1
2
=sin(2ωx+
π
6
),
ω
=4π,∴ω=
1
4

∴f(x)=sin(
x
2
+
π
6
).
由   2kπ-
π
2
x
2
+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,得    4kπ-
3
≤x≤4kπ+
3

故f(x)的增区间为[4kπ-
3
,4kπ+
3
],k∈z.
(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,
∴2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,∴cosB=
1
2
,∴B=
π
3

∵f(A)=sin(
1
2
•A+
π
6
),0<A<
3
,∴
π
6
1
2
•A+
π
6
π
2

1
2
<f(A)<1,函数f(A)的取值范围为  (
1
2
,1).
点评:本题考查正弦函数的单调性、定义域、值域,三角公式、正弦定理的应用,
根据角的范围求三角函数值的范围是解题的难点.
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