题目内容
(文)已知函数f(x)=(sin3 |
1 |
2 |
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边长分别是a,b,c满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.
分析:(1)利用三角公式化简 f(x)的结果为sin(2ωx+
),根据周期求出ω,由 2kπ-
≤
+
≤2kπ+
,k∈z,
求得f(x)的增区间.
(2)根据等式和正弦定理得到 2sinAcosB=sinA,求出cosB,从而求得 B,得到f(A)=sin(
•A+
),
0<A<
,求出f(A)的取值范围.
π |
6 |
π |
2 |
x |
2 |
π |
6 |
π |
2 |
求得f(x)的增区间.
(2)根据等式和正弦定理得到 2sinAcosB=sinA,求出cosB,从而求得 B,得到f(A)=sin(
1 |
2 |
π |
6 |
0<A<
2π |
3 |
解答:解:(1)∵f(x)=sin
ωxcosωx+cos2ωx-
=sin(2ωx+
),
=4π,∴ω=
,
∴f(x)=sin(
+
).
由 2kπ-
≤
+
≤2kπ+
,k∈z,得 4kπ-
≤x≤4kπ+
,
故f(x)的增区间为[4kπ-
,4kπ+
],k∈z.
(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,
∴2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,∴cosB=
,∴B=
.
∵f(A)=sin(
•A+
),0<A<
,∴
<
•A+
<
,
∴
<f(A)<1,函数f(A)的取值范围为 (
,1).
3 |
1 |
2 |
π |
6 |
2π |
ω |
1 |
4 |
∴f(x)=sin(
x |
2 |
π |
6 |
由 2kπ-
π |
2 |
x |
2 |
π |
6 |
π |
2 |
4π |
3 |
2π |
3 |
故f(x)的增区间为[4kπ-
4π |
3 |
2π |
3 |
(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,
∴2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,∴cosB=
1 |
2 |
π |
3 |
∵f(A)=sin(
1 |
2 |
π |
6 |
2π |
3 |
π |
6 |
1 |
2 |
π |
6 |
π |
2 |
∴
1 |
2 |
1 |
2 |
点评:本题考查正弦函数的单调性、定义域、值域,三角公式、正弦定理的应用,
根据角的范围求三角函数值的范围是解题的难点.
根据角的范围求三角函数值的范围是解题的难点.

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