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精英家教网(文)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P(-1,1).
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)若x>0时,不等式f(x)≥mx2-2x+2恒成立,求实数m的取值范围.

(理) 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交线段B1C于点F.以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图.
(Ⅰ)求证:A1C⊥平面BED;
(Ⅱ)求A1B与平面BDE所成角的正弦值的大小.
分析:(文)(1)先对函数进行求导,根据函数f(x)与直线4x-y+5=0切于点P(-1,1),列出方程组即可求出a、b的值.
(2)先分离出参数m:m≤
x3-x2+x
x2
,即m≤x+
1
x
-1
g(x)=x+
1
x
-1
(x>0)只须求得g(x)的最小值即可即可得到m的取值范围.
(理)(Ⅰ)给出各点的坐标,求出两个向量
A1C
BD
利用数量积公式即可证得垂直关系,从而即可求解;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
A1C
=(-2,2,-4)
是平面BDE的一个法向量.
A1B
=(0,2,-4)
,再代入A1B与平面BDE所成角的余弦公式即可求值.
解答:精英家教网(文)解:(Ⅰ)f′(x)=3x2+2ax+b(2分)
由题意得:
f′(-1)=4
f(-1)=1
3-2a+b=4
-1+a-b+2=1
(4分)
解得:a=b=-1.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(x)=x3-x2-x+2
∵f(x)≥mx2-2x+2,
∴mx2≤x3-x2+x.
∵x>0,
m≤
x3-x2+x
x2
,即m≤x+
1
x
-1
,(10分)
g(x)=x+
1
x
-1
(x>0)∴g(x)≥2
x•
1
x
-1=2-1=1
,(12分)
当且仅当x=
1
x
时取等号,即x=1时,g(x)min=1,(14分)
∴m≤1(15分)

(理)解:(Ⅰ)D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4)(2分)
设E(0,2,t),则
BE
=(-2,0,t),
B1C
=(-2,0,-4)

∵BE⊥B1C,
BE
B1C
=4+0-4t=0

∴t=1.
∴E(0,2,1),
BE
=(-2,0,1)
.(4分)
A1C
=(-2,2,-4),
DB
=(2,2,0)

A1C
BE
=4+0-4=0
A1C
DB
=-4+4+0=0
,(6分)
A1C
BD
A1C
BE

A1C
平面BDE.(8分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
A1C
=(-2,2,-4)
是平面BDE的一个法向量,(9分)
A1B
=(0,2,-4)

cos?
A1C
A1B
>=
A1C
A1B
|
A1C
||
A1B
|
=
20
24
20
=
30
6
,(14分)
∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为
30
6
.(16分)
点评:本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、向量语言表述线面的垂直、平行关系、用空间向量求直线与平面的夹角等基础知识,考查运算求解能力与转化思想.属于中档题.
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