题目内容
(文)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P(-1,1).(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)若x>0时,不等式f(x)≥mx2-2x+2恒成立,求实数m的取值范围.
(理) 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交线段B1C于点F.以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图.
(Ⅰ)求证:A1C⊥平面BED;
(Ⅱ)求A1B与平面BDE所成角的正弦值的大小.
分析:(文)(1)先对函数进行求导,根据函数f(x)与直线4x-y+5=0切于点P(-1,1),列出方程组即可求出a、b的值.
(2)先分离出参数m:m≤
,即m≤x+
-1令g(x)=x+
-1(x>0)只须求得g(x)的最小值即可即可得到m的取值范围.
(理)(Ⅰ)给出各点的坐标,求出两个向量
,
利用数量积公式即可证得垂直关系,从而即可求解;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
=(-2,2,-4)是平面BDE的一个法向量.
=(0,2,-4),再代入A1B与平面BDE所成角的余弦公式即可求值.
(2)先分离出参数m:m≤
x3-x2+x |
x2 |
1 |
x |
1 |
x |
(理)(Ⅰ)给出各点的坐标,求出两个向量
A1C |
BD |
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
A1C |
A1B |
解答:(文)解:(Ⅰ)f′(x)=3x2+2ax+b(2分)
由题意得:
即
(4分)
解得:a=b=-1.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(x)=x3-x2-x+2
∵f(x)≥mx2-2x+2,
∴mx2≤x3-x2+x.
∵x>0,
∴m≤
,即m≤x+
-1,(10分)
令g(x)=x+
-1(x>0)∴g(x)≥2
-1=2-1=1,(12分)
当且仅当x=
时取等号,即x=1时,g(x)min=1,(14分)
∴m≤1(15分)
(理)解:(Ⅰ)D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4)(2分)
设E(0,2,t),则
=(-2,0,t),
=(-2,0,-4).
∵BE⊥B1C,
∴
•
=4+0-4t=0.
∴t=1.
∴E(0,2,1),
=(-2,0,1).(4分)
∵
=(-2,2,-4),
=(2,2,0),
∴
•
=4+0-4=0且
•
=-4+4+0=0,(6分)
∴
⊥
且
⊥
,
∴
⊥平面BDE.(8分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
=(-2,2,-4)是平面BDE的一个法向量,(9分)
∵
=(0,2,-4),
∴cos?
,
>=
=
=
,(14分)
∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为
.(16分)
由题意得:
|
|
解得:a=b=-1.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(x)=x3-x2-x+2
∵f(x)≥mx2-2x+2,
∴mx2≤x3-x2+x.
∵x>0,
∴m≤
x3-x2+x |
x2 |
1 |
x |
令g(x)=x+
1 |
x |
x•
|
当且仅当x=
1 |
x |
∴m≤1(15分)
(理)解:(Ⅰ)D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4)(2分)
设E(0,2,t),则
BE |
B1C |
∵BE⊥B1C,
∴
BE |
B1C |
∴t=1.
∴E(0,2,1),
BE |
∵
A1C |
DB |
∴
A1C |
BE |
A1C |
DB |
∴
A1C |
BD |
A1C |
BE |
∴
A1C |
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
A1C |
∵
A1B |
∴cos?
A1C |
A1B |
| ||||
|
|
20 | ||||
|
| ||
6 |
∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为
| ||
6 |
点评:本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、向量语言表述线面的垂直、平行关系、用空间向量求直线与平面的夹角等基础知识,考查运算求解能力与转化思想.属于中档题.
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