Question

（文）已知函数f（x）=x²lnx．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若b∈[-2，2]时，函数h（x）=

1

3

x3lnx-

1

9

x3-(2a+b)x，在（1，2）上为单调递减函数．求实数a的范围．

Answer 1

分析：（I）确定函数f（x）的定义域，求导函数，利用f′（x）＜0，x＞0，确定函数单调递减区间；利用f′（x）＞0，x＞0，可得函数单调递增区间；
（2）求导函数，问题转化为x∈（1，2）时，h′（x）≤0恒成立，利用函数f（x）=x²lnx在（1，2）上单调递增，及b∈[-2，2]，即可求得实数a的范围．

解答：解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）----1分
求导函数，可得f′（x）=2xlnx+x．
令f′（x）=0，解得：x=e-

1

2

----4分
令f′（x）＜0，x＞0，可得0＜x＜e-

1

2

；令f′（x）＞0，x＞0，可得x＞e-

1

2

；
∴函数单调递减区间为(0，e-

1

2

)；函数单调递增区间为(e-

1

2

，+∞)．----6分
（2）求导函数，可得h′（x）=x²lnx-（2a+b）
由题意可知，x∈（1，2）时，h′（x）≤0恒成立．----9分
即2a+b≥x²lnx
由（1）可知，函数f（x）=x²lnx在（1，2）上单调递增，∴2a+b≥f（2）=4ln2----11分
由b∈[-2，2]，可得2a≥4ln2+2
∴a≥2ln2+1----13分．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．